CBC: Categoricity by convention

Eckdaten des Projekts

Beschreibung des Projekts

Nach einer weit verbreiteten naturalistischen metasemantischen Auffassung werden die Bedeutungen logischer und mathematischer Begriffe durch die Art und Weise bestimmt, wie wir die logische und mathematische Sprache verwenden – insbesondere durch die grundlegenden logischen und mathematischen Prinzipien, die wir zu akzeptieren bereit sind. Aber es ist etwas rätselhaft, wie das so sein kann: Bekannte Ergebnisse der Modelltheorie führen dazu, dass jede hinreichend mächtige Theorie erster Ordnung nicht kategorisch ist, was bedeutet, dass keine solche Theorie eine bestimmte Interpretation unserer mathematischen Sprache auszeichnen kann. Eine Standardantwort besteht darin, sich auf mathematische Theorien zweiter Ordnung zu berufen, für die es Kategorizitätsergebnisse gibt, z.B. Dedekinds Kategorizitätstheorem für die PA zweiter Ordnung und Zermelos Quasi-Kategorizitätstheorem für ZFC. Diese Ergebnisse setzen jedoch die vollständige Interpretation der Logik zweiter Ordnung voraus. Das Problem wurde also nur verschoben, da die Prinzipien der Logik zweiter Ordnung selbst nicht kategorisch sind: Diese Prinzipien sind mit eingeschränkten Interpretationen der Quantoren zweiter Ordnung kompatibel, für die die Ergebnisse von Dedekind und Zermelo nicht mehr verfügbar sind.

Ein analoges Problem ergibt sich sogar für die Prinzipien der Aussagenlogik und der Logik erster Ordnung – wie Carnap gezeigt hat, sind diese Prinzipien mit Nicht-Standard-Interpretationen unseres logischen Vokabulars vereinbar und scheinen daher nicht in der Lage zu sein, die beabsichtigten Interpretationen herauszufiltern. Solange diese Probleme nicht gelöst sind, gibt es keine Hoffnung für eine naturalistische Metasemantik.

Wir bieten eine neuartige, einheitliche Lösung für diese Probleme und demonstrieren damit die Tragfähigkeit einer naturalistischen Metasemantik für die logische und mathematische Sprache. Wir beginnen damit, dass wir eine neue Lösung für Carnaps Problem für die Aussagenlogik und die Logik erster Ordnung anbieten, eine Lösung, die keine Überarbeitung des standardmäßigen beweistheoretischen Rahmens erfordert. Unsere Erklärung dafür, wie insbesondere die Quantoren erster Ordnung ihre beabsichtigte Interpretation erhalten, besteht darin, dass wir bereit sind, in Übereinstimmung mit den Quantorenregeln in einer offenen Weise zu argumentieren. In diesem Fall muss die Interpretation der Quantoren permutationsinvariant sein und somit, nach einem kürzlich von Bonnay & Westerståhl bewiesenen Theorem, die Standardinterpretation sein. Dieses Ergebnis ist besonders bedeutsam, weil es sich auf den Fall zweiter Ordnung verallgemeinern lässt: Die Offenheit der Quantorenregeln zweiter Ordnung garantiert wiederum Permutationsinvarianz, und wir zeigen durch Verallgemeinerung von Bonnay & Westerståhls Theorem, dass diese Permutationsinvarianz die vollständige Interpretation der Logik zweiter Ordnung garantiert. Dies wiederum macht Kategorizitätsergebnisse für unsere mathematischen Theorien zweiter Ordnung verfügbar.

Das metasemantische Bild, das wir entwickeln, liefert auch – so hoffen wir – ein neuartiges, weitgehend syntaktisches Kriterium für Logizität, eine moderate Form des Pluralismus und eine attraktive Epistemologie des Apriori.