Elliptische und parabolische Hindernis-Probleme mit irregulären Hindernissen

Antragsteller: Frank Duzaar, Verena Bögelein

Mitarbeiter: André Erhardt

Das Projekt wurde 2010-2014 von der DFG (Deutsche Forschungsgemeinschaft) an der Universität Erlangen-Nürnberg gefördert.

Projektbeschreibung: Ziel des Projektes ist einerseits die Entwicklung einer Calderón-Zygmund-Theorie für Lösungen elliptischer und parabolischer Hindernis-Probleme für partielle Differentialoperatoren in Divergenzform vom p-Laplace Typ, und andererseits die Herleitung punktweiser Potential-Abschätzungen der Lösungen in Termen des Hindernisses. Angestrebt wird der Beweis einer klassischen Calderón-Zygmund-Abschätzung für den räumlichen Gradienten der Lösung in Termen der Integrabilität des Hindernisses. Genauer soll gezeigt werden, dass der Gradient genauso integrierbar ist wie die das Hindernis beschreibende Hindernisfunktion. Dabei werden sehr schwache Regularitätsvoraussetzungen an das definierende Vektorfeld des Differentialoperators gestellt. Des Weiteren sollen auch Hindernisfunktionen betrachtet werden, die nicht notwendigerweise mit der Zeit abfallen. Darüber hinaus sollen Potentialabschätzungen für die Lösung und deren Gradienten in Termen eines nicht-linearen Wolff-Potentials der Hindernisfunktion hergeleitet werden. Hierbei sollen der stationäre sowie der nicht-stationäre Fall betrachtet werden, wobei wir uns im nicht-stationären Fall voraussichtlich auf Differentialoperatoren mit linearem Wachstum beschränken werden.

Publikationen

• A. Erhardt. Existence of solutions to parabolic problems with nonstandard growth and irregular obstacles. Adv. Differential Equations 21:463-504, 2016.
• A. Erhardt. Higher integrability for solutions to parabolic problems with irregular obtacles and nonstandard growth. J. Math. Anal. Appl. 435:1772-1803, 2016.
• V. Bögelein, T. Lukkari and C. Scheven. The obstacle problem for the porous medium equation. Math. Ann. 363(1):455-499, 2015.
• A. Erhardt, Hölder estimates for parabolic obstacle problems. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 194:645-671, 2015.
• C. Scheven, Existence of localizable solutions to nonlinear parabolic problems with irregular obstacles. Manuscripta Math. 146(1-2):7-63, 2015.
• P. Baroni and V. Bögelein. Calderón-Zygmund estimates for parabolic p(x,t)-Laplacian systems. Rev. Mat. Iberoam. 30(4):1355-1386, 2014.
• A. Erhardt, Calderón-Zygmund theory for parabolic obstacle problems with non- standard growth. Adv. Nonlinear Anal., 3:15-44, 2014.
• A. Erhardt. Existence and Gradient Estimates in Parabolic Obstacle Problems with Nonstandard Growth. Dissertationsschrift, 2013.
• V. Bögelein and C. Scheven, Higher integrability in parabolic obstacle problems. Forum Math, 24(5):931–972, 2012.
• C. Scheven, Elliptic obstacle problems with measure data: Potentials and low order regularity. Publ. Mat. 56(2):327–374, 2012.
• C. Scheven, Gradient potential estimates in non-linear elliptic obstacle problems with measure data. J. Func. Anal. 262(6):2777–2832, 2012.
• C. Scheven, Potential estimates in parabolic obstacle problems. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 37:415–443, 2012.
• V. Bögelein and F. Duzaar, Higher integrability for parabolic systems with non-standard growth and degenerate diffusions. Publ. Mat., 55(1):201–250, 2011.
• C. Scheven, Existence and Gradient Estimates in Nonlinear Problems with Irregular Obstacles. Habilitationsschrift, 2011.