Evolutionsgleichungen mit p,q-Wachstum

Antragsteller: Verena Bögelein

Mitarbeiter: Thomas Singer

Das Projekt wird von der DFG (Deutsche Forschungsgemeinschaft) finanziert. Es startete 2013 zunächst an der Universität Erlangen-Nürnberg und wurde 2014 an die Universität Salzburg transferiert.

Projektbeschreibung: Ziel dieses Projektes ist, ein möglichst umfassendes Verständnis von Evolutionsgleichungen unter nicht Standard-Wachstumsbedingungen (sog. p,q-Wachstum) an die Koeffizienten zu erlangen. Im stationären elliptischen Fall wurde die entsprechende Klasse von Differentialgleichungen / Variationsintegralen mit p,q-Wachstum Ende der 80er Jahre von P. Marcellini entdeckt. Dabei fand er überraschenderweise Beispiele von Minimierern von Variationsintegralen mit Singularitäten.
Seit der Einführung durch Marcellini sind derartige Differentialgleichungen / Variationsintegrale von großem Interesse. Fragen nach der Existenz, Regularität und Irregularität von Lösungen bzw. Minimierern spielen in diesem Zusammenhang eine zentrale Rolle. Zum stationären Fall existiert eine breite Literatur mit einer Vielzahl von Resultaten. Im Gegensatz dazu ist der zeitabhängige parabolische Fall nahezu völlig offen. Hier gibt es nur Resultate in einigen wenigen Spezialfällen. Der Grund dafür dürfte die größere Komplexität des parabolischen Falles sein. So war zum Beispiel noch nicht einmal der richtige Lösungsbegriff bekannt. In den zwei Arbeiten [V. Bögelein, F. Duzaar, P. Marcellini, Parabolic equations with p,q-growth. J. Math. Pures Appl. (9), 100(4):535-563, 2013] und [V. Bögelein, F. Duzaar, P. Marcellini. Parabolic systems with p,q-growth: a variational approach. Arch. Ration. Mech. Anal., 210(1):219-267, 2013] wurden zwei Lösungskonzepte eingeführt, die jeweils durch einen Existenzsatz abgesichert wurden. Zum einen wurde das Konzept der schwachen Lösung, zum anderen das einer Variationslösung (eines parabolischen Minimierers) eingeführt. Letzterer erweist sich als wesentlich flexibler, da a priori weniger Regularität an die Lösung (und an die Regularität des Integranden) vorausgesetzt werden muss. Die beiden oben erwähnten Arbeiten stellen den Ausgangspunkt einer systematischen Untersuchung parabolischer Probleme mit p,q-Wachstum dar.
In diesem Projekt soll eine möglichst allgemeine und umfassende Existenz- und Regularitätstheorie für derartige Probleme entwickelt werden. Insbesondere soll ein Existenzbeweis gefunden werden, der nur auf Methoden der Variationsrechnung basiert. Damit würde ein natürlicher Zugang zu parabolischen Variationslösungen etabliert werden.

Publikationen

• V. Bögelein, F. Duzaar, P. Marcellini, and S. Signoriello. Parabolic equations and the bounded slope condition, Ann. Inst. H. Poincaré, Anal. Non Linéaire, 34(2), 355-379, 2017.
• V. Bögelein, F. Duzaar, and C. Scheven. The obstacle problem for the total variation flow, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 49(5), 1143-1188, 2016.
• T. Singer. Local Boundedness of variational solutions to evolutionary problems with non-standard grwoth, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 23:19, 2016.
• T. Singer. Existence of weak solutions of parabolic systems with p,q-growth, Manuscripta Math. 151, 87-112, 2016.
• V. Bögelein, F. Duzaar and P. Marcellini. A time dependent variational approach to image restoration, SIAM J. Imaging Sci. 8(2), 968-1006, 2015.
• V. Bögelein, F. Duzaar, P. Marcellini, and S. Signoriello. Nonlocal diffusion equations, J. Math. Anal. Appl. 432(1), 398-428, 2015.
• T. Singer. Parabolic equations with p,q-growth: The subquadratic case, Q. J. Math. 66 (2), 707-742, 2015.