Nach dem Studium der Geschichte und der klassischen Philologie an der Universität Wien 1961–1969 sowie der Absolvierung des Ausbildungskurses am Institut für Österreichische Geschichtsforschung  war Dopsch 1969 bis 1980 Assistent bei o. Univ.-Prof. Dr. Hans Wagner am Lehrstuhl für Österreichische Geschichte am Historischen Institut der Universität Salzburg, 1977 erfolgte die Habilitation für das Fachgebiet der mittelalterlichen Geschichte und der Vergleichenden Landesgeschichte mit einer Arbeit über „Das Erzstift Salzburg im Mittelalter“ . 1984 erfolgte der Ruf auf den neu geschaffenen Lehrstuhl für Vergleichende Landesgeschichte an der Universität Salzburg. Heinz Dopsch war 1991 bis 1993 Dekan der Geisteswissenschaftlichen Fakultät und emeritierte 2011.
Innerhalb der wissenschaftlichen Publikationstätigkeit von besonderer Bedeutung war die von ihm und Hans Spatzenegger herausgegebene „Geschichte Salzburgs – Stadt und Land“, die 1981 bis 1991 in acht Teilbänden erschien.
Heinz Dopsch war ao. Mitglied der Kommission für Bayerische Landesgeschichte bei der Bayerischen Akademie der Wissenschaften (1988), korrespondierendes Mitglied der Österreichischen Akademie der Wissenschaften (1994), Vorstand des Forschungsinstituts für Koptologie und Ägyptenkunde (1994–2004) als auch Kuriensprecher der Professorinnen und Professoren im Senat (1999–2003). Er hatte die wissenschaftliche Leitung mehrerer großer Ausstellungen inne und koordinierte drei Forschungsprojekte. Öffentlichkeitsarbeit war ihm wichtig, so verfasste er etwa Drehbücher für Fernsehfilme, gab Vortragsreihen an Volkshochschulen und hielt etwa Seminare für Ortschronisten ab.
Seit 1974 engagierte sich Heinz Dopsch als Schriftleiter der Mitteilungen und Vorstandsmitglied der Gesellschaft für Salzburger Landeskunde, war Kuratoriumsvorsitzender des Instituts für Realienkunde des Mittelalters und der frühen Neuzeit bei der Österreichischen Akademie der Wissenschaften in Krems (seit 1992) und Präsident der Internationalen Paracelsus-Gesellschaft (IPG) in Salzburg (seit 2003). Er erhielt zahlreiche Auszeichnungen, als letztes den Paracelsusring der Stadt Salzburg.
Mit Heinz Dopsch verliert der Fachbereich Geschichte einen renommierten und kompetenten Universitätslehrer und Wissenschaftler, aber auch einen immer freundlichen und entgegenkommenden Kollegen. Die Universität Salzburg und der Fachbereich Geschichte werden ihm stets ein ehrenvolles Gedenken bewahren.