Elliptische Kurven mit hohem Rang und Diophantische Tupel

Elliptische Kurven sind zu einem zentralen Forschungsthema in der Algebra und Zahlentheorie geworden. Sie haben nicht nur beim Beweis der Fermatschen Vermutung eine wesentliche Rolle gespielt, sondern finden auch bei modernen Kryptosystemen Verwendung. Bei der Untersuchung von elliptischen Kurven stößt man schnell auf eine Reihe von interessanten Fragestellungen. Probleme bei der algorithmischen Behandlung dieser Fragen stehen im Zentrum von vielen aktuellen Untersuchungen, insbesondere wenn man an die Anwendungen in der Datensicherheit denkt. Dabei kommen zentrale Algorithmen der diskreten Mathematik zum Einsatz. Ein solcher Algorithmus, mit dem Schülerinnen und Schüler bereits in der Schule konfrontiert werden, ist der Euklidische Algorithmus zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von zwei ganzen Zahlen. Will man dieses Verfahren auf reelle Zahlen ausdehnen, so erhält man den Kettenbruchalgorithmus, der bei algorithmisch-orientierten Fragestellungen insbesondere in der Zahlentheorie von entscheidender Bedeutung ist. Mit Hilfe der Theorie der Kettenbrüche lassen sich z.B. auch alle Lösungen der sogenannten allgemeinen Pellschen Gleichung vollständig beschreiben. Obwohl sehr alt (der Namensgeber ist John Pell, 1611-1685), ist die Pellsche Gleichung auch in der aktuellen Forschung zentral. Diese und andere Algorithmen aus der diskreten Mathematik bilden die Grundlage für jene Experimente, die in diesem Forschungsprojekt untersucht werden sollen.

Eine elliptische Kurve E über dem Körper der rationalen Zahlen kann in natürlicher Weise (durch die Sekanten-Tangenten-Methode) mit einem abelschen Gruppengesetz versehen werden, die E zu einer endlich-erzeugten abelschen Gruppe macht. Diese abelsche Gruppe wird z.B. bei Verfahren in der Kryptografie eingesetzt, insbesondere wenn die Ressourcen (Speicher, Geschwindigkeit) ein Problem darstellen; der Grund liegt darin, dass die im Kryptoverfahren verwendeten Schlüssel bei gleicher Sicherheit wesentlich kleiner gewählt werden können. Um die Sicherheit des Verfahrens zu gewährleisten, stellt sich die Frage, ob es elliptische Kurven mit beliebig großem Rang gibt. Die Vermutung ist, dass die Antwort auf diese Frage Ja lautet. In diesem Projekt sollen neue Rangrekorde aufgestellt werden. Dabei sind wir an expliziten Gleichungen von elliptischen Kurven interessiert. Nach dem Satz von Mazur kommen für die Torsionsuntergruppe nur 15 explizit bekannte endliche Gruppen in Frage; eine feinere Fragestellung lautet, elliptische Kurven mit hohem Rang bei vorgegebener Torsionsuntergruppe zu konstruieren. Auch zu dieser Fragestellung sollen neue Beitrage geliefert werden. Elliptische Kurven treten in natürlicher Weise bei sogenannten Diophantischen Tupeln auf. Ausgehend von polynomiellen Familien von Diophantischen D(n)-m-Tupeln wird in diesem Projekt versucht, neue elliptische Kurven mit hohem Rang zu konstruieren. Weitere Fragen aus dem Umfeld von Diophantischen Tupeln, die in diesem Projekt auch bearbeitet werden, sind:

• Beweis der Quintupel-Vermutung: Es gibt kein Diophantischen D(1)-Quintupel.
• Beweis der D(−1)-Quadrupel-Vermutung: Es gibt kein Diophantisches D(−1)-Quadrupel.
• Beweis der Vermutung, dass es genau dann höchstens endlich viele D(n)-Quadrupel gibt, wenn n eine Quadratzahl ist.
• Auffinden einer absoluten Schranke für die Große m von D(n)-m-Tupeln für jedes n.
• Was ist das größte negative bzw. kleinste positive n, für welches ein D(n)-Quintupel existiert?